Read Ito’s article about Kolmogorov

节选:

 

然而,高中生在选择数学作为上大学的专业时,自然应测验一下自己对数学的适应性。实际上,在理解(数学的)推论、解决问题、或作出新的发现上,其速度、容易程度和成功度是因人而异的。在数学专业教育中,应选择在数学领域出成就的可能性大的青年人。

什么是对于数学的适应性呢?柯尔莫哥洛夫总结为以下三点:

(1)算法能力:即对于复杂式子作高明的变形,对于用标准方法解不了的方程式作巧妙的解决的能力(仅记住许多定理、公式是不行的)。

(2)几何学直观:对于抽象的东西,能够在头脑中像画画一样描绘出来并加以思考。

(3)作逻辑性推理的能力:例如能够正确地应用数学归纳法。

仅有这些能力,而对研究题目不抱有强烈的兴趣、不作持久不断的研究活动的话,还是起不了什么作用。

在大学的数学教育中,好的教师又是什么样的呢?

(I)讲课高明。如用其它的科学领域的例子来吸引学生。

(II)以清晰的解释和宽广的数学知识来吸引学生。

(III)善于作个别指导。清楚每个学生的能力,在其能力范围内安排学习内容,使学生增强自信心。

以上每一条都是有价值的,而理想的教师应属(iii)类型的教师。

对于数学物理系的学生的数学教育,除了常规的课程,柯尔莫哥洛夫特别强调了以下两点:

(I)使学生能够把泛函分析作为日常工具那样运用自如。

(II)重视实际问题。

我最初对这个意思不大明白,最近见到一位曾经在莫斯科大学接受过柯尔莫哥洛夫的指导的先生,便询问了一下,其意思可能是这样的,例如对于微分方程式给出具体的系数和边界条件(每个学生不同),然后让学生考察方程式的解的性质。

学生在开始搞研究的时候,首先必须使其树立起“自己能够搞出点名堂”的自信心。因而在布置研究课题时,不但要考虑“这样题目的重要性”,还应考虑“这个研究是否能提高学生的水平”,“是否在学生的能力范围内,而且需要作最大程度的努力才能解决的问题”。

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a guy about to get some sense of doing stat research
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